问题补充:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E,设⊙O是△BDE的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若DE=2,BD=4,求AE的长.
答案:
(1)证明:连接OD,
∵DE⊥DB,⊙O是△BDE的外接圆,
∴BE是直径,点O是BE的中点,
∵∠C=90°,
∴∠DBC+∠BDC=90°,
又BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB,
则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线.(方法不唯一,参照给分)
(2)解:∵DE⊥DB,DE=2,BD=4,
∴,
∴∠ABD=∠ADE,又∠A为公共角,
∴△ADB∽△AED,则有,
∴AD=2AE,
在Rt△AOD中,AO2=OD2+AD2,
即(+AE)2=2+(2AE)2,
解得AE=或AE=0(舍去),
所以AE=.
解析分析:(1)如图,连接OD,首先由DE⊥DB,⊙O是△BDE的外接圆,证明BE是直径,点O是BE的中点,由∠C=90°得到∠DBC+∠BDC=90°,由BD为∠ABC的平分线得到∠ABD=∠DBC,又OB=OD,利用等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ODB,然后等量代换即可证明题目结论;
(2)首先利用勾股定理求出,然后利用已知条件证明△ADB∽△AED,利用等腰三角形的性质得到
AD=2AE,在Rt△AOD中由AO2=OD2+AD2,可以列出关于AE的方程,解方程即可解决问题.
点评:本题综合考查了切线的性质和判定、相似三角形的性质与判定、角平分线的性质及勾股定理的综合运用.综合性比较强,对于学生的能力要求比较高.
如图 在Rt△ABC中 ∠C=90° ∠ABC的平分线BD交AC于点D DE⊥DB交AB于点E 设⊙O是△BDE的外接圆.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若DE=