问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q.
(1)当点P在线段AB上运动(不与A,B重合)时,求证:OA?BQ=AP?BP;
(2)在(1)成立的条件下,设点P的横坐标为m,线段CQ的长度为l,求出l关于m的函数解析式,并判断l是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由;
(3)直线AB上是否存在点P,使△POQ为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
(1)证明:∵PO⊥PQ,
∴∠APO+∠BPQ=90°,
在Rt△AOP中,∠APO+∠AOP=90°,
∴∠BPQ=∠AOP,
∴△OAP∽△PBQ,则,
即OA?BQ=AP?BP.
(2)解:∵OA?BQ=AP?BP,即BQ=,
∴l=3-
∴当m=2时,l有最小值.
(3)解法一:
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上,∠OPQ=90°
∴PO=PQ,又△OAP∽△PBQ,
∴△OAP≌△PBQ
∴PB=AO,即3=4-m,
∴m=1,即P点坐标(1,3);
②若P在线段AB的延长线上,PQ交CB的延长线于Q,PO=PQ,
又∵△AOP∽△BPQ,
∴△AOP≌△BPQ,
∴AO=PB,即3=m-4,即P点的坐标(7,3);
③当P在线段BA的延长线上时,显然不成立;
故存在P1(1,3),P2(7,3)使△POQ为等腰三角形;
解法二:
∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ,
即PA2+AO2=PB2+BQ2
则m2+32=(4-m)2+2
整理得m4-8m3+16m2-72m+63=0
m4-8m3+7m2+9m2-72m+63=0
m2(m2-8m+7)+9(m2-8m+7)=0
(m-1)(m-7)(m2+9)=0
∴m1=1,m2=7,m2=-9(舍去)
故存在P1(1,3),P2(7,3)使△POQ为等腰三角形.
解析分析:(1)根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ,再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OA?BQ=AP?BP;
(2)由第一问可求得BQ的值,从而求得l=3-,
所以可得到当m=2时,l有最小值;
(3)因为△POQ是等腰三角形所以PO=PQ,根据等式PA2+AO2=PB2+BQ2可求得m的值,从而就可确定点P的坐标.
点评:此题考查学生对等腰三角形的性质,相似三角形的判定,矩形的性质及二次函数等知识点的综合运用.
如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC为矩形 OA=3 OC=4 P为直线AB上一动点 将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q.(1)当点P在线段AB