问题补充:
如图⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=45°,AD∥OC交BC的延长线于D,AB交OC于E.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若∠ACD=60°,求BC:CD的值.
答案:
(1)证明:连接OA;
∵∠ABC=45°,
∴∠AOC=2∠ABC=90°,
∴OA⊥OC;
又∵AD∥OC,
∴OA⊥AD,
∴AD是⊙O的切线.
(2)解:连接OB;
在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB的外角∠ACD=60°;
∴∠CAB=60°-45°=15°,
∵△OAC是等腰直角三角形,
∴∠CAO=45°,
∴∠BAO=∠CAO-∠CAB=30°;
∵在Rt△AOE中,∠EAO=∠BAO=30°,
∴OE=AE;
∵在△AOB中,OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=30°,∠AOB=120°,
∴∠EOB=∠AOB-∠AOC=120°-90°=∠EBO,
∴BE=OE,
∴BE=,
即BE:EA=1:2;
又∵EC∥AD,
∴BC:CD=BE:EA=1:2.
解析分析:(1)连接OA,要证明切线,只需证明OA⊥AD,根据AD∥OC,只需得到OA⊥OC,根据圆周角定理即可证明;
(2)连接OB,根据已知的角,结合圆周角定理发现等腰直角三角形AOC和等腰三角形OBE和30度的直角三角形AOE;在根据它们的性质得到BE和AE之间的关系,再根据平行线分线段成比例定理进行求解.
点评:掌握切线的判定定理.综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系,熟练运用平行线分线段成比例定理进行求解.
如图⊙O是△ABC的外接圆 ∠ABC=45° AD∥OC交BC的延长线于D AB交OC于E.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若∠ACD=60° 求BC:CD的值.