问题补充:
如图,已知二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,与x轴的一个交点为B,顶点A在直线y=x上,O为坐标原点.
(1)证明:△AOB是等腰直角三角形;
(2)若△AOB的外接圆C的半径为1,求该二次函数的解析式;
(3)对题(2)中所求出的二次函数,在其图象上是否存在点P(点P与点A不重合),使得△POC是以PC为腰的等腰三角形,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵点A在直线y=x上,
∴设点A的坐标为(m,m)
过点A作AD⊥x轴,交x轴于点D,
∵点A是二次函数图象的顶点,
∴直线AD是其对称轴,
∴点D是OB的中点.
∴OD=DB=AD,
∴△AOB是等腰直角三角形.
(2)若△AOB的外接圆半径为1,则OC=BC=AC=1;
∴A(1,1),B(2,0);
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+1,则有:
a×(2-1)2+1=0,a=-1;
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+1;
(3)存在,点P;
此题要分两种情况:
①等腰△POC以CO、PC为腰,此时C与A、B重合,显然此种情况不符合题意;
②等腰△POC以PO、PC为腰,此时P点在CO的垂直平分线上,所以P点的横坐标为;
代入抛物线的解析式中,得:y=-(-1)2+1=;
∴P点的坐标为(,),
综合上述两种情况可知,存在符合条件的P点,且P(,).
解析分析:(1)可过A作x轴的垂线,设垂足为D,由于A是抛物线的顶点,因此A点必在OB的垂直平分线上,而A点在直线y=x上,则AD=OD=BD,由此可证得△AOB是等腰直角三角形;
(2)由(1)知△AOB是等腰Rt△,则其外接圆圆心即为OB的中点,此时C、D重合,若外接圆半径为1,那么OC=BC=AC=1,由此可求得A、B的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)若以等腰三角形POC以PC为腰,那么有两种情况:
①以PC、CO为腰,那么PC=CO,则此时P与A或B重合,当P、A重合时,与题意不符;当P、B重合时,不能构成三角形POC,所以此种情况不存在;
②以OP、CP为腰,那么P点必在OC的垂直平分线上,由此可确定P点的横坐标,进而可根据抛物线的解析式求出P点的坐标.
点评:此题主要考查了等腰直角三角形的判定、二次函数解析式的确定以及等腰三角形的构成情况等重要知识.需注意的是(3)题在不确定等腰三角形另一腰的情况下腰分类讨论,以免漏解.
如图 已知二次函数y=ax2+bx的图象开口向下 与x轴的一个交点为B 顶点A在直线y=x上 O为坐标原点.(1)证明:△AOB是等腰直角三角形;(2)若△AOB的外