问题补充:
如图1,在平面直角坐标系中,等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上,直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A,交y轴于C点,双曲线也经过A点.
(1)求点A坐标;
(2)求k的值;
(3)若点P为x正半轴上一动点,在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M,使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)若点P为x负半轴上一动点,在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N,使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A(a,a),
则a=3a-4,
解得a=2
∴点A(2,2);
(2)又点A在上,
∴k=4,反比列函数为;
(3)存在.????????????????????
设M(m,n)
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB??AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°,即MB⊥x轴
∵△ABO是等腰直角三角形,A(2,2)
∴OB=4??
∵点M在上
∴M(4,1);
(4)不存在??????????????????
由(3)中所证易知:
假设在双曲线上存在点N,
若△PAN为等腰直角三角形
则:△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上,
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在.
解析分析:(1)作AD⊥x轴于D,利用△AOB为等腰直角三角形得到OD=AD=BD,然后设A(a,a),则a=3a-4,解得a=2从而表示出点A的坐标;(2)根据点A在反比例函数的图象上将点A代入反比例函数的解析式即可求得k的值;(3)设M(m,n)根据∠PAM=∠OAB=90°得到∠OAP=∠BAM,从而证得△OAP≌△BAM,得到∠ABM=∠AOP=45°,从而?MB⊥x轴再根据OB=4求得点M的坐标即可.??(4)过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点,连接AQ,过A点作AP⊥AQ交x轴于P点.由ASA易证△AOP≌△ABQ,得出AP=AQ,那么△APQ是所求的等腰直角三角形.根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果.
点评:本题考查反比例函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力.
如图1 在平面直角坐标系中 等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上 直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A 交y轴于C点 双曲线也经过A点.(1)求点A坐标;(