问题补充:
在平面直角坐标系xoy中,动点M到定点F(0,)的距离比它到x轴的距离大,设动点M的轨迹是曲线E.
(1)求曲线E的轨迹方程;
(2)设直线l:x-y+2=0与曲线E相交于A、B两点,已知圆C经过原点O和A,B两点,求圆C的方程,并判断点M(0,4)关于直线l的对称点M′是否在圆C上.
答案:
解:(1)由已知,动点M到定点F(0,)的距离比它到x轴的距离大,
∴动点M到定点F(0,)的距离等于它到定直线的距离,…(2分)
∴动点M的轨迹曲线E是顶点在原点,焦点为F(0,)的抛物线和点(0,-)…(4分)
∴曲线E的轨迹方程为x2=y和y=-(x=0).…(6分)
(2)由,解得或???????????…(8分)
即A(-1,1),B(2,4)
设过原点与点A、B的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则,解得
∴圆C的方程为x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5?…(10分)
由上可知,过点M(0,4)且与直线l垂直的直线MM′方程为:y=-x+4
解方程组,得,即线段MM′中点坐标为H(1,3)…(12分)
从而得点M(0,4)关于直线l的对称点M′的坐标为M′(2,2)
把M′(2,2)代入,可得(x-1)2+(y-2)2≠5?
∴点M′(2,2)不在圆C上.…(14分)
解析分析:(1)由动点M到定点F(0,)的距离比它到x轴的距离大,可得动点M到定点F(0,)的距离等于它到定直线的距离,从而可得曲线E的轨迹方程;(2)由,求得A,B的坐标,假设过原点与点A、B的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入可得圆C的方程,求出点M(0,4)关于直线l的对称点M′的坐标,代入验证,即可得到结论.
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,考查运算求解能力,推理论证能力
在平面直角坐标系xoy中 动点M到定点F(0 )的距离比它到x轴的距离大 设动点M的轨迹是曲线E.(1)求曲线E的轨迹方程;(2)设直线l:x-y+2=0与曲线E相交