已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期 对称轴方程及单调区间；（Ⅱ）现保持

问题补充：

已知函数f（x）=．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；

（Ⅱ）现保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）；

（ⅰ）求h（x）的解析式；

（ⅱ）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，h（A）=，c=2，试求△ABC的面积．

答案：

解：（I）∵f（x）==sin2x-=sin2xcos+cos2xsin-，

∴f（x）=sin（2x+）-，f（x）的最小正周期为T==π．

令2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，所以函数图象的对称轴方程为：x=+kπ，（k∈Z）

令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，解之得-+kπ≤x≤+kπ，所以函数的单调增区间为[-，+kπ]，（k∈Z）

同理可得，函数的单调减区间为[+kπ，+kπ]，（k∈Z）

（II）∵保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）

∴h（x）=f（x）=sin（x+）-，

（i）h（x）的解析式为h（x）=sin（x+）-；

（ii）∵h（A）=sin（A+）-=，

∴sin（A+）=，结合A∈（0，π）得A=

∵=

∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=

①当A=B时，因为c=2，A=，所以△ABC是边长为2的等边三角形，

因此，△ABC的面积S=×22=．

②当A+B=时，因为c=2，A=，所以△ABC是斜边为2的直角三角形

∴a=csinA=2×=，b=ccosA=2×=1

因此，△ABC的面积S=××1=．

综上所述，得△ABC的面积是或．

解析分析：（I）利用二倍角的三角函数公式降次，再用辅助角公式合并得f（x）=sin（2x+）-，再结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的有关公式，可得f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；（II）（i）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的公式，不难得到h（x）的解析式为h（x）=sin（x+）-；（ii）根据h（A）的值结合三角形内角的范围和特殊三角函数的值，求得A=，再由结合正弦定理，讨论得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最后在两种情况下分别解此三角形，再结合面积公式可求出△ABC的面积．

点评：本题综合了三角恒变换、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、利用正余弦定理解三角形等知识，对三角函数的知识进行了综合考查，是一道中档题．

已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期 对称轴方程及单调区间；（Ⅱ）现保持纵坐标不变 把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍 得到新的函数h（x）；