问题补充:
已知函数,其中a∈R.
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值.
答案:
(Ⅰ)解:f(x)的定义域为R,且?f(x)=2x2-4x+2-a,当a=2时,,f(1)=-2,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为?,即?6x+3y-5=0.(4分)
(Ⅱ)解:方程f(x)=0的判别式为△=(-4)2-4×2×(2-a)=8a.
(ⅰ)当a≤0时,f(x)≥0,所以f(x)在区间(2,3)上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]
上的最小值是;最大值是f(3)=7-3a.
(ⅱ)当a>0时,令f(x)=0,得?,或.f(x)和f(x)的情况如下:
x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f(x)+0-0+f(x)↗↘↗故f(x)的单调增区间为,;单调减区间为.
①当0<a≤2时,x2≤2,此时f(x)在区间(2,3)上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]
上的最小值是;最大值是f(3)=7-3a.
②当2<a<8时,x1<2<x2<3,此时f(x)在区间(2,x2)上单调递减,在区间(x2,3)上单调递增,
所以f(x)在区间[2,3]上的最小值是?.
因为?,
所以?当时,f(x)在区间[2,3]上的最大值是f(3)=7-3a;当时,f(x)在区间[2,3]上的最大值是.
③当a≥8时,x1<2<3≤x2,此时f(x)在区间(2,3)上单调递减,
所以f(x)在区间[2,3]上的最小值是f(3)=7-3a;最大值是.
综上可得,
当a≤2时,f(x)在区间[2,3]上的最小值是,最大值是7-3a;
当时,f(x)在区间[2,3]上的最小值是,最大值是7-3a;
当时,f(x)在区间[2,3]上的最小值是,最大值是;
当a≥8时,f(x)在区间[2,3]上的最小值是7-3a,最大值是.
解析分析:(Ⅰ)求导数,把a=2代入可得,f(1)=-2,由点斜式可写直线的方程,化为一般式即可;(Ⅱ)由△=8a,分a≤0,当a>0两大类来判断,其中当a>0时,又需分0<a≤2,2<a<8,a≥8,三种情形来判断,综合可得
已知函数 其中a∈R.(Ⅰ)若a=2 求曲线y=f(x)在点(1 f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[2 3]上的最大值和最小值.