问题补充:
“a=1”是“函数f(x)=x3+ax2+ax+1没有极值”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:
A
解析分析:函数f(x)=x3+ax2+ax+1在R上没有极值点,即函数的导数等于0无解或有唯一解(但导数在点的两侧符号相同),又导数为 f′(x)=x2+ax+,故判别式△≤0,解不等式求得实数a的取值范围.最后再看与“a=1”的关系即得.
解答:函数f(x)=x3+ax2+ax+1在R上没有极值点,即函数的导数等于0无解或有唯一解(但导数在点的两侧符号相同).函数f(x)=x3+ax2+ax+1 的导数为 f′(x)=x2+ax+,∴△=a2-2a≤0,∴0≤a≤2,由于“a=1”?“0≤a≤2”;反之不成立.故“a=1”是“函数f(x)=x3+ax2+ax+1没有极值”的充分不必要条件.故选A.
点评:本题考查函数在某点取得极值的条件,以及一元二次方程无解或只有唯一解的条件.属于基础题.
“a=1”是“函数f(x)=x3+ax2+ax+1没有极值”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件