问题补充:
已知函数f(x)=(x>0),
(1)函数f(x)?在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(2)证明:当x>0时,f(x)>恒成立;
(3)试证:(1+1?2)(1+2?3)…[1+n(n+1)]>e2n-3(n∈N*).
答案:
(1)解:由题意知x>0,则f′(x)=-<0,
故f(x)在区间(0,+∞)上是减函数;
(2)证明:当x>0时,f(x)>恒成立,即证明(x+1)ln(x+1)+1-2x>0在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x(x>0),
则g′(x)=ln(x+1)-1,
当x<e-1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>e-1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以x=e-1时,g(x)取得最小值,且最小值g(e-1)=3-e>0,
所以当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0在(0,+∞)上恒成立,
故当x>0时,f(x)>恒成立;
(3)证明:由(2)知:>(x>0),
∴ln(x+1)>-1=2->2-,
令x=n(n+1),则ln[1+n(n+1)]>2-=2-3,
又ln[(1+1?2)?(1+2?3)?(1+3?4)?…?(1+n(n+1))]=ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln(1+n×(n+1))>2n-3[(1-)+(-)+…+(-)]=2n-3(1-)=2n-3+>2n-3
所以(1+1?2)?(1+2?3)?(1+3?4)?…?[1+n(n+1)]>e2n-3.
解析分析:(1)求导函数,确定导数的符号,即可得到结论;(2)当x>0时,f(x)>恒成立,即证明(x+1)ln(x+1)+1-2x>0在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x(x>0),利用导数求得g(x)的最小值即可;(3)由(2)知:>(x>0),从而令x=n(n+1),得ln[1+n(n+1)]>2-=2-3(?),对原不等式两边取对数,放缩求和即可证得结论
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查不等式的证明,属于中档题.
已知函数f(x)=(x>0) (1)函数f(x)?在区间(0 +∞)上是增函数还是减函数?证明你的结论;(2)证明:当x>0时 f(x)>恒成立;(3)试证:(1+1