问题补充:
如图,线段AC与BD交于O,DO=DC,AO=AB,E,F,G分别是OB,OC,AD中点
(1)如图1,当∠AOB=60°时,EG与FG的数量关系是________,∠EGF=________;
如图2,当∠AOB=45°时,EG与FG的数量关系是________,∠EGF=________;
(2)如图3,当∠AOB=θ时,EG与FG的数量关系是________,∠EGF=________;
(3)请你从上述三个结论中选择一个结论加以证明
答案:
解:(1)当∠AOB=60°时,
证明:连接DF与EG,
∵DO=DC,AO=AB,
∵∠DOC=∠AOB=60°,
∴△DOC与△AOB是等边三角形,
∵E,F,G分别是OB,OC,AD中点,
∴DF⊥AC,AE⊥BD,
∴EG=AD,FG=AD,
∴EG=FG,
∵∠DCO=∠BAO=60°,
∴AB∥CD,
∴∠CDA+∠DAB=180°,
∵∠CDO=∠CDA=∠OAB=BAO=30°,
∴∠ADF+∠EAG=120°,
∵DG=GF=AG=EG=AD,
∴∠DFG=∠GDF,∠AEG=∠GAE,
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=120°,
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=240°,
∴∠DGF+∠AGE=360°-(∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG)=120°,
∴∠FGE=60°;
当∠AOB=45°时,
证明:连接DF与EG,
∵DO=DC,AO=AB,
∵∠DOC=∠AOB=45°,
∴△DOC与△AOB是等腰直角三角形,
∵E,F,G分别是OB,OC,AD中点,
∴DF⊥AC,AE⊥BD,
∴EG=AD,FG=AD,
∴EG=FG,
∵∠DCO=∠BAE=45°,
∴AE∥CD,
∴∠CDA+∠DAE=180°,
∵∠CDO=∠CDO=∠OAB=BAO=45°,
∴∠ADF+∠EAG=135°,
∵DG=GF=AG=EG=AD,
∴∠DFG=∠GDF,∠AEG=∠GAE,
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=135°,
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=270°,
∴∠DGF+∠AGE=360°-(∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG)=190°,
∴∠FGE=90°;
(2)当∠AOB=θ时,
证明:连接DF与AE,
∵DO=DC,AO=AB,∵∠DOC=∠AOB=∠DCO=∠ABO=θ,
∴△DOC与△AOB是等腰三角形,
∵E,F,G分别是OB,OC,AD中点,
∴DF⊥AC,AE⊥BD,
∴EG=AD,FG=AD,
∴EG=FG,
∵∠FDO=∠EAO=90°-θ,
∴∠ODA+∠OAD=θ,
∴∠FDA+∠EAD=180°-θ,
∵DG=GF=AG=EG=AD,
∴∠DFG=∠GDF,∠AEG=∠GAE,
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=180°-θ,
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=360°-2θ,
∴∠DGF+∠AGE=360°-(∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG)=180°-2θ,
∴∠FGE=180°-2θ.
故
如图 线段AC与BD交于O DO=DC AO=AB E F G分别是OB OC AD中点(1)如图1 当∠AOB=60°时 EG与FG的数量关系是________ ∠