问题补充:
如图,在正方形ABCD中,点F在CD上.
(1)若E是BC的中点,∠BAE=∠EAF,求证:AF=BC+FC;
(2)若E是BC上任意一点,∠BAE+∠DAF=∠EAF,试探究BE、EF、DF之间的关系,并说明理由.
答案:
(1)证明:过E点作EG⊥AF,垂足为G,
∵∠BAE=∠EAF,∠B=∠AGE=90°,
又∠BAE=∠EAF,即AE为角平分线,EB⊥AB,EG⊥AG,
∴BE=EG,又AE=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),
∴AG=AB,
同理可知CF=GF,
∴AF=BC+FC.
(2)解:EF=BE+DF.理由如下:
如果将正方形ABCD以A为顶点,以AD为边顺时针旋转90°与AB重合.
设旋转后的正方形为AD1C1B1那么B与D1重合.且E1,B,E三点共线.
由旋转的性质可知∠E1AF=90°,AF=AE1
∴∠E1AE=90°-45=45°=∠EAF.
三角形AE1E和AEF中,
∵AF=AE1,∠E1AE=∠EAF,AE=AE,
∴△AE1E≌△AFE(SAS),
∵AH,AB为两三角形对应边EF,E1E上的高,
∴AH=AB,
在直角三角形AHF和AFD中,
∵AH=AB,AF=AF,
∴△AHF≌△ADF(HL).
∴HF=DF.
又知BE=EH.
∴EF=EH+HF=BE+DF.
解析分析:(1)过E点作EG⊥AF,垂足为G,根据题干条件首先证明△ABE≌△AGE,即可得AG=AB,同理证明出CF=GF,于是结论可以证明,
(2)首先证明AB=AH,无法直接证明三角形ABE和AHE全等,那么可构建全等三角形来求解.将正方形ABCD顺时针旋转90°,AD和AB重合,从而根据旋转的性质及全等三角形的判定不难求得结论;要求EF,BE,DF的关系,可以通过全等将BE,DF转化为EH,HF来求解.
点评:本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点,解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质还有旋转的性质,此题难度不大.
如图 在正方形ABCD中 点F在CD上.(1)若E是BC的中点 ∠BAE=∠EAF 求证:AF=BC+FC;(2)若E是BC上任意一点 ∠BAE+∠DAF=∠EAF