问题补充:
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为D,过点A的直线与抛物线交于点E,与y轴交于点F,且点B的坐标为(3,0),点E的坐标为(2,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点G为抛物线对称轴上的一个动点,H为x轴上一点,当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时,求出这个最小值及点G、H的坐标;
(3)设直线AE与抛物线对称轴的交点为P,M为直线AE上的任意一点,过点M作MN∥PD交抛物线于点N,以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,请求点M的坐标;若不能,请说明理由.
答案:
解:(1)∵y=-x2+bx+c经过(3,0)和(2,3),
∴,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;
(2)∵y=-x2+2x+3,
∴y=-(x-1)2+4,
∴对称轴为x=1.
当y=0时,-x2+2x+3=0,
∴x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0).
当x=0时,y=3,
∴C(0,3)
∴CE=2.OC=3
如图,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F点I关于x轴对称,在x轴上取点H,连接HF、HI、HG、GC、GE、则GF=HI.
∵抛物线的对称轴为x=1,
∴点C点E关于对称轴x=1对称,
∴CG=EG.
设直线AE的解析式为y=kx+b,由题意,得
,
解得:,
∴直线AE的解析式为y=x+1.
当x=0时,y=1,
∴F(0,1),
∴OF=1,CF=2.
∵点F与点I关于x轴对称,
∴I(0,-1),
∴OI=1,CI=4.
在Rt△CIE中,由勾股定理,得
EI==2.
∵要使四边形CFHG的周长最小,而CF是定值,
∴只要使CG+GH+HF最小即可.
∵CG+GH+HF=EG+GH+HI,
∴只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小.
设EI的解析式为y=k1x+b1,由题意,得
,
解得:,
∴直线EI的解析式为:y=2x-1,
∵当x=1时,y=1,
∴G(1,1).
∵当y=0时,x,
∴H(,0),
∴四边形CFHG的周长最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2;
(3)∵y=-x2+2x+3,
∴y=-(x-1)2+4,
∴D(1,4)
∴直线AE的解析式为y=x+1.
∴x=1时,y=2,
∴P(1,2),
∴PD=2.
∵四边形DPMN是平行四边形,
∴PD=MN=2.
∵点M在AE上,设M(x,x+1),
①当点M在线段AE上时,点N点M的上方,则N(x,x+3),
∵N点在抛物线上,
∴x+3=-x2+2x+3,
解得:x=0或x=1(舍去)
∴M(0,1).
②当点M在线段AE或EA的延长线上时,点N在M的下方,则N(x,x-1).
∵N点在抛物线上,
∴x-1=-x2+2x+3,
解得:x=或x=,
∴M(,)或(,).
∴M的坐标为:M(0,1)或(,)或(,).
解析分析:(1)将点B和点E的坐标代入y=-x2+bx+c,建立二元一次方程组,求出b、c的值即可;
(2)先根据(1)的结论求出A、C的坐标及对称轴,画出函数图象,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F点I关于x轴对称,在x轴上取点H,连接HF、HI、HG、GC、GE、则GF=HI.由待定系数法求出AE的解析式,求出F的坐标,就可以求出CF的值,由勾股定理可以求出EI的值,根据两点之间线段最短,求出求出EI的解析式就可以求出G、H的坐标,由勾股定理就可以求出最小值;
(3)根据平行四边形的性质和AE的解析式就可以求出D的坐标,由抛物线的解析式可以求出D的坐标,求出PD的值,可以设出M的坐标(x,x+1)分情况讨论当M在线段AE上和在线段AE或EA的延长线上时,分别表示出N点的坐标从而求出结论.
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了待定系数法求函数的解析式的运用,四边形周长的最值的运用,轴对称的性质的运用,数学建模的运用,平行四边形的性质的运用,分类讨论思想的运用,解答本题时求出函数的解析式是关键.
在平面直角坐标系xOy中 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 顶点为D 过点A的直线与抛物线交于点E 与y轴交于点F 且点B的坐标为(3