问题补充:
已知点P(m,-1)(m∈R),过点P作抛物线C:y=x2的切线,切点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2).
(1)若过点P的切线的斜率为1,求m的值;
(2)证明x1,m,x2成等差数列;
(3)若以点P为圆心的圆E与直线AB相切,求圆E面积的最小值.
答案:
解:(1)设切点的坐标为(x0,y0),∵y′=2x0=1,∴,∵,
且,∴,解得;
(2)由y=x2可得,y′=2x.∵直线PA与曲线C相切,且过点P(m,-1),
∴,即x12-2mx1-1=0,同理x22-2mx2-1=0,
∴x1,x2为方程x2-2mx-1=0两个根,因此x1+x2=2m,故x1,m,x2成等差数列.
(注:另解,由x12-2mx1-1=0得,或,同理可得:,或,∵x1<x2,∴,.??因此x1+x2=2m,故x1,m,x2成等差数列.
(3)由(2)可知,x1+x2=2m,x1?x2=-1,则直线AB的斜率,∴直线AB的方程为:y-y1=(x1+x2)(x-x1),又y1=x12,∴y-x12=(x1+x2)x-x12-x1x2,即2mx-y+1=0.
∵点P到直线AB的距离即为圆E的半径,即,
设4m2+1=t,t≥1,则=,
当且仅当t=3时,等号成立,即,时取等号.
故圆E面积的最小值S=πr2=3π.
解析分析:(1)设出点P的坐标,利用导数求出P的斜率等于1,求m的值;(2)求出y=x2的导数,通过直线PA与曲线C相切,利用斜率相等,推出x1+x2=2m,即可证明x1,m,x2成等差数列;另解,利用方程直接求出方程的根,推出x1+x2=2m,得到x1,m,x2成等差数列.(3)通过(2)求出AB的斜率,AB的方程,利用点P到直线AB的距离即为圆E的半径,就是以点P为圆心的圆E与直线AB相切,求出r的表达式,利用换元法与基本不等式,求出r的最小值,即可求圆E面积的最小值.
点评:本题是中档题,考查直线与圆的位置关系,函数的导数的性质,基本不等式,证明数列是等差数列的方法等知识,考查分析问题解决问题的能力,转化思想,换元法.
已知点P(m -1)(m∈R) 过点P作抛物线C:y=x2的切线 切点分别为A(x1 y1) B(x2 y2).(1)若过点P的切线的斜率为1 求m的值;(2)证明x