问题补充:
已知函数,其中a>0.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值.(其中e为自然对数的底数)
答案:
解:(Ⅰ)∵函数,
∴=,
∵a>0,
∴由>0,
得,或,
∴0<x<2,或无解,
∴函数f(x)的单调增区间为(0,2).
由<0,
得,或,
∴x>2或x<0.
∴函数f(x)的单调减区间为(-∞,0)和(2,+∞).
(Ⅱ)∵,g(x)=xlnx-x2f(x),,
∴g(x)=xlnx-a(x-1),
∴g(x)=lnx+1-a,
当0<a≤1时,g(x)≥0,g(x)是增函数,最大值是g(e)=e-a(e-1);
当a≥2时,g(x)≤0,g(x)是减函数,最大值是g(1)=0;
当1<a<2时,g(x)先减后增,最大值是g(1)或g(e).
设g(1)>g(e),即 e-a(e-1)<0,即 a>,
所以若<a<2 时,最大值是g(1),
若1<a<,最大值是g(e).
综上,0<a<时,最大值是g(e)=e-a(e-1);<a<2 时,最大值是g(1)=0.
解析分析:(Ⅰ)由函数,知=,由a>0,知当>0时,,或,由此能求出函数f(x)的单调增区间;当<0时,,或,由此能求出函数f(x)的单调减区间.(Ⅱ)由g(x)=xlnx-a(x-1),知g(x)=lnx+1-a,当0<a≤1时,g(x)≥0,g(x)是增函数,最大值是g(e)=e-a(e-1);当a≥2时,g(x)≤0,g(x)是减函数,最大值是g(1)=0;当1<a<2时,g(x)先减后增,最大值是g(1)或g(e).由此能求出g(x)在区间[1,e]上的最大值.
点评:本题考查函数的单调区间的求法和求g(x)在区间[1,e]上的最大值.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真解答,注意导数性质的灵活运用.易错点是分类不清,导致出错.
已知函数 其中a>0.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=xlnx-x2f(x) 求g(x)在区间[1 e]上的最大值.(其中e为自然对数的底数)