已知二次函数f(x)=ax2+bx.f的图象与直线y=x相切．的解析式 -k]x在上是单调

问题补充：

已知二次函数f（x）=ax2+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数，那么：

①求k的取值范围；

②是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

答案：

答案:分析：（1）欲求求f（x）的解析式，先利用f（x）的解析式求得f（x+1）的解析式，结合f（x+1）为偶函数列出等式，再根据函数f（x）的图象与直线y=x相切，将直线的方程代入二次函数的解析式，利用根的唯一性的条件列出另一个方程．从而求出a，b．问题解决．

（2）①先求函数g（x）的导函数，利用：“函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数”得其导数恒小于等于0，最后结合二次函数的根的判别式即可求k的取值范围；

②对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在区间[m，n]（m＜n），再利用二次函数的单调性，求出m，n的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．