问题补充:
已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足·=0,=.
(1)
当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C
(2)
过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x。,0),使得△ABE为等边三角形,求x0的值.
答案:
答案:
解析:
(1)
解析:设点M的坐标为(x,y),由=-,得P(0,-),Q(,0).
由·=0得(3,-)·(x,y)=0,得y2=4x.由点Q在x轴的正半轴上,得x>0.
所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,(1,0)为焦点的抛物线(除去原点).
(2)
设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x得k2x2+2(k2-2)x十k2=0.①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程①的两个实根.
所以x1+x2=-,x1·x2=1.
则线段AB的中点坐标为(,),线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x-).
令y=0,解得x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0).
因为△ABE为正三角形,所以点E(+1,0)到直线AB的距离等于|AB|,
而|AB|=
=·,
所以=.
解得k=±,所以x0=.