dy/dx=xy的通解 求解方程y'''+y=sinx

问题补充：

dy/dx=xy的通解 求解方程y\+y=sinx

答案：

dy/dx=xy

1/ydy=xdx

两边积分,得

ln|y|=1/2x²+ln|c|

y=ce^(1/2x²)

r³＋1=0

r1=-1,r2=1/2+根号3/2i

r3=1/2-根号3/2i

即齐次通解Y=c1e^(-x)+e^(1/2x)(c2cos根号3/2x+c3sin根号3/2x)

设特解为y*=(acosx+bsinx)

y*=-asinx+bcosx

y*\=-acosx-bsinx

y*\=asinx-bcosx

代入,得asinx-bcosx+acosx+bsinx=sinx

(a+b)sinx+(a-b)cosx=sinx

a+b=1a-b=0所以a=b=1/2

即y*=1/2cosx+1/2sinx

所以通解为y=Y+y*

=c1e^(-x)+e^(1/2x)(c2cos根号3/2x+c3sin根号3/2x)

+1/2cosx+1/2sinx