问题补充:
已知:如图,PA、PB是⊙O的切线;A、B是切点;连接OA、OB、OP, (1)若∠AOP=60°,求∠OPB的度数;(2)过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点,①若∠COP=∠DOP,求证:AC=BD;②连接CD,设△PCD的周长为l,若l=2AP,判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由.
答案:
已知:如图,PA、PB是⊙O的切线;A、B是切点;连接OA、OB、OP, (1)若∠AOP=60°,求∠OPB的度数;(2)过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点,①若∠COP=∠DOP,求证:AC=BD;②连接CD,设△PCD的周长为l,若l=2AP,判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由.(图2)(1)∵PA为⊙O的切线,
∴∠OAP=90°;
又∠AOP=60°,
∴∠APO=30°;
由切线长定理知AP=BP,∠PBO=∠PAO=90°;
又OP=OP,
∴△PAO≌△PBO(HL);
∴∠OPB=∠OPA=30°.
(2)①证明:由(1)中知△PAO≌△PBO;
∴∠POB=∠POA,又∠COP=∠DOP;
∴∠COA=∠DOB,而∠CAO=∠DBO=90°,OA=OB,
∴△AOC≌△BOD;
∴AC=BD;
②延长射线PA到F使AF=BD,
∵OA=OB,∠OAF=∠OBD;
∴△OAF≌△OBD;
∴OF=OD;
∵△PCD的周长为l,l=2AP,
∴l=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD;
∴CD=AC+BD,
∵AF=BD,
∴CF=CD;
又∵OC=OC,OF=OD;
∴△OFC≌△ODC(SSS);
所以CF和CD边上所对应的高也应该相等.
过OE⊥CD于E,则OE=OA=R(R为半径长度);
所以CD与⊙O相切.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
没图,也不能根据题意确定CD点的位置
供参考答案2:
没有图供参考答案3:
(1)A, B为切点,∴∠OAP=∠OBP=90°
在△AOP和△BOP中,OA=OB=圆半径r;
OP为两个三角形的公共边
∴△AOP≌△BOP,∴∠OPB=∠OPA=90°-∠AOP=30°
(2)在△COP和△DOP中,已证明有∠OPA=∠OPB
又∠COP=∠DOP,OP为公共边
∴△COP≌△DOP,∴OC=OD,PC=PD
而AC=PA-PC, BD=PB