已知三角形ABC的外接圆半径6若面积S=a^2-(b-c)^2且SinB+SinC=4/3求SinA

问题补充：

已知三角形ABC的外接圆半径6若面积S=a^2-(b-c)^2且SinB+SinC=4/3求SinA 求三角形ABC的面积最大值

答案：

这题我做过由正弦定理：sinB=b/2R,sinC=c/2R,代入sinB+sinC=4/3,

得：b+c=(4/3)*2R=(4/3)*2*6=16.(1)

S=a²-(b-c)²=a²-(b+c)²+4bc=a²-16²+4bc

=a²-256+4bc.(2)

S=(1/2)bcsinA=(1/2)bc(a/2R)=abc/24.(3)

又 S=a²-(b-c)²=[a+(b-c)][(a-(b-c)]

=(a+b-c)(a+c-b)=4[(a+b-c)/2][(a+c-b)/2]

=4[(a+b+c)/2-c][(a+b+c)/2-b]=4(p-c)(p-b)

故有 (p-b)(p-c)=S/4.(4)

其中p=(a+b+c)/2=(a+16)/2=a/2+8

将(4)代入海伦公式：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=√[p(p-a)(S/4)]

两边平方,消去一个S,并将P值代入,得：

S=（1/4)p(p-a)=(1/4)(a/2+8)(a/2+8-a)

=(1/4)(a/2+8)(8-a/2)=(1/4)(64-a²/4)

=（1/4)(256-a²)/4=(256-a²)/16.(5)

于是由（2)(5）得：

(256-a²)/16=a²-256+4bc

∴bc=（1/4)[（256-a²)/16+(256-a²)]

=17(256-a²)/64.(6)

由（3）得：

bc=4RS/a=24S/a=(24/a)(256-a²）/16

=3（256-a²)/2a.(7)

由（6）（7）得：

17(256-a²)/64=3（256-a²)/2a

即 17/64=3/2a

∴a=96/17

故sinA=a/2R=a/12=(96/17)/12=8/17.

由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

S=1/2bcsinA

=4R^2 * 1/2 * sinBsinCsinA

=2(R^2)*(sinBsinC)sinA

=576/17 * (sinBsinC)

≤576/17 * [(sinB+sinC)^2]/4

=256/17当且仅当sinB=sinC=2/3时等号成立.∴S的最大值为256/17.