已知函数f（x）=x2-16x+q+3．（1）若函数y=f（sinx）在区间（-∞ +∞）上存在零点

问题补充：

已知函数f（x）=x2-16x+q+3．

（1）若函数y=f（sinx）在区间（-∞，+∞）上存在零点，求实数q的取值范围；

（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

答案：

解：（1）令t=sinx，则y=f（sinx）化为二次函数f（t）=t2-16t+q+3，其对称轴是t=8．

∴函数f（t）=t2-16t+q+3在区间[-1，1]上单调递减，

∴要函数f（t）在区间[-1，1]上存在零点须满足f（-1）f（1）≤0，

即?（1+16+q+3）（1-16+q+3）≤0，解得-20≤q≤12．

（2）①当时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，即[q-61，t2-16t+q+3]．

∴t2-16t+q+3-（q-61）=t2-16t+64=12-t，

化为t2-15t+52=0，解得，经检验不合题意舍去，满足题意．

②当时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[q-61，q-57]，

∴q-57-（q-61）=4=12-t，解得t=8．

经检验t=8不合题意，舍去．

③当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t2-16t+q+3，q-57]．

∴q-57-（t2-16t+q+3）=-t2+16t-60=12-t，

∴t2-17t+72=0，解得t=8或9．

经检验t=8，9满足题意．

所以存在常数t=8，9，（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

解析分析：（1）通过换元利用正弦函数的单调性、二次函数的单调性、零点的判定定理即可得出；（2）通过分类讨论t与8的大小关系并利用二次函数的单调性即可得出．

点评：熟练掌握换元法、正弦函数的单调性、二次函数的单调性、零点的判定定理、分类讨论的思想方法是解题的关键．

已知函数f（x）=x2-16x+q+3．（1）若函数y=f（sinx）在区间（-∞ +∞）上存在零点 求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t≥0） 当x∈[