问题补充:
已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe1-x(a∈R,e为自然对数的底)
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(II)若对任意给定的x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范围.
答案:
解:(Ⅰ)∵,
∴(1)当2-a≤0即a≥2时f(x)<0恒成立.
(2)当2-a>0即a<2时,由f(x)<0,得;
由f(x)>0,得.
因此:当a≥2时函数f(x)的单调减区间是(0,+∞);
当a<2时,函数f(x)的单调减区间是,单调增区间是
(II)∵g(x)=(1-x)e1-x,
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,
又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2-e>0,
∴g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].
由(Ⅰ)知当a≥2时函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,不合题意,
∴a<2,并且,即①
∵x→0时f(x)→+∞,故对任意给定的x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同xi(i=1,2),
使得f(xi)=g(x0)成立,当且仅当a满足,
注意到f(1)=0,故只要f(e)=(2-a)(e-1)-2≥1,即②
由①②知,所求的a得取值范围是
解析分析:(Ⅰ)首先求出函数的导数,然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间,(II)根据)若对任意给定的x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,得到函数f(x)在区间(0,e]上不单调,并且有,从而求得a的取值范围.
点评:此题是个难题.考查利用导数研究函数的单调性,和求函数的最值问题,体现了分类讨论和数形结合以及题意的理解与转化的思想.特别是问题(2)的设置,考查了学生创造性分析解决问题的能力.
已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx g(x)=xe1-x(a∈R e为自然对数的底)(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(II)若对任意给定的x0∈(0 e]